Вычисляем площадь квадрата: по стороне, диагонале, периметру
Площадь квадрата – базовое понятие, благодаря которому можно без проблем рассчитать расход материалов для ремонта, высчитать верные габариты мебели при замерах помещения, понять, сколько нужно удобрения и семян для высадки важных культур на огромном поле.
Приведенными формулами площади квадрата пользуются и строители, и мебельные производители, и представители сельского хозяйства.
Что такое квадрат?
Квадрат – правильный прямоугольник с равными сторонами. Каждый угол фигуры равен 90⁰. Квадрат относится к простым геометрическим фигурам, расположенным на плоскости. Найти площадь квадрата можно несколькими способами вычислений: по диагонали, по стороне, по периметру.
Формулы площади, примеры расчетов
Площадь простой фигуры – положительная величина, обладающая перечисленными ниже свойствами:
- Равные геометрические фигуры обладают равными площадями.
- В случае, если простая фигура разделена на несколько частей, ее общая площадь будет всегда равна сумме площадей всех элементов.
- Площадь квадрата всегда равна единице, если его сторона соответствует единице измерения.
По стороне
В геометрии площадь всегда обозначается как S, а маленькие латинские буквы (например, а и b) – это стороны простой фигуры.
В основе вычисления площади любого прямоугольника по стороне лежит простая формула: S = ab , но в случае с квадратом формулу преобразовывают в S = а² , так как две стороны одинаковы по длине.
Отсюда следует утверждение, что площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Пример 1:
Дан квадрат, сторона которого равна 5 см. Чему равна площадь?
Решение:
S = 5² = 25 см
Пример 2:
Сторона фигуры 3 см. Найдите площадь.
Решение:
S = 3² = 9 см
По диагонали
Еще один вариант найти площадь – это произвести вычисления относительно диагонали фигуры (d). Правда, для этого нужно сперва найти длину самой диагонали. Известно, что диагональ делит квадрат на два равнобедренных треугольника. А значит, вычисления можно провести по известной теореме Пифагора, где катетами будут выступать стороны квадрата, а гипотенузой – собственно диагональ.
Расчет площади по диагонали производится по принципу: площадь квадрата равна квадрату длины диагонали (вычисленной по теореме Пифагора) и поделенному на два.
Пример:
Дан квадрат, диагональ которого составляет 10 см. Как вычислить площадь?
Решение:
Согласно формуле, приведенной выше, вычисления производятся так: S = 10²/2 = 100/2 = 50 cм²
По периметру
Периметр – сумма всех длин сторон квадрата. Обозначается периметр латинской буквой Р. Беря во внимание определение квадрата, получаем универсальную формулу расчета периметра для равностороннего четырехугольника: Р = 4а . То есть, периметр квадрата равен длине стороны, помноженной на четыре.
Вычисления площади квадрата относительно суммы всех сторон необходимо в том случае, если в задаче задано только значение периметра. Зная формулу вычисления периметра, очень легко найти площадь.
Если Р = 4а , то а = Р/4 . Далее уже нужно использовать формулу расчета площади по стороне.
Пример:
Пусть будет дан квадрат с периметром 100 мм. Какова площадь?
Решение:
Сторона квадрата будет равна 100/4 = 25 мм. Ну, а площадь квадрата дальше вычисляется по формуле, где площадь квадрата равна квадрату сторон. То есть, S = 25² = 625 мм²
Площадь квадрата вписанного в окружность
Этот вариант используется как следствие формулы, полученной ранее (расчет по диагонали). Согласно математическим данным, диаметр круга как раз и будет равен диагонали квадрата. Поэтому, чтобы оперативно рассчитать площадь равностороннего четырехугольника, достаточно будет знать диаметр круга. А далее используется уже известная формула: S = d²/2
Типовая задача:
например, дана окружность с диагональю 8 см и в нее вписан квадрат. Какая площадь четырехугольника?
Правильное решение:
S = 8²/2 = 64/2 = 32 cм²
